商品期货定价  

商品期货基于实实在在的商品，是看得见，摸得着的标的物，与股指期货、外汇期货等品种不同。在开始探讨商品期货的定价之前，有必要将商品区分为如下两个大类，这是十分重要的。

      1、投资品。为投资目的而由相当多的投资者所持有的（如黄金和白银）商品。对投资目的的商品，我们可以通过套利讨论得出准确的商品期货价格。

      2、消费品。为消费目的所持有的商品。但是，对消费目的的商品来说，套利讨论只能给出期货价格的上限。

符号：

   F：远期合约的价格

   S：期货标的物的现价

   r：无风险年收益率（连续复利）

   T：远期合约期限

投资品商品期货定价

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  因为黄金和白银在投资品中占了绝大部分，因而在这里我们使用黄金和白银来作为投资品商品期货的标的物。

  众多投资者拥有黄金和白银的目的仅仅就是投资，因为黄金、白银是实物资产，不会产生额外的黄金、白银，所以可以将黄金和白银看做不提供收益的投资资产。

  如果不考虑存储成本，由不支付红利收益的远期合约定价公式，推得远期价格F为：

                   F=Se^(r*T)

  如果考虑存储成本，那么存储成本可看作是负收益。可以这样理解，如果你持有期货合约中的标的物，你是要付出存储成本的，但是你现在持有的是期货合约，并不是持有实物资产，那么当然地，你的这份远期合约的价值就应该包含这部分存储成本，期货合约的空头方是不会免费为你保存实物的。设u为期货合约有效期间所有存储成本的现值，则远期价格F为：

                   F=(S+U)e^(r*T)

  若任何时刻的存储成本与商品价格成一定的比例，设u是每年的存储成本与现货价格的比例，存储成本可以看作是负的红利收益率。则由支付固定红利收益率投资资产的远期合约定价公式，得

                   F=Se^[(r+u)*T]

  例：

        1、考虑黄金的一年期期货合约。假设黄金的存储成本是每年每盎司2美元，在年底支付。假设现价为450美元，无风险利率始终为每年7%。黄金期货价格应是多少？

         解：根据条件，S=450，r=7%，T=1

               存储成本的现值为U=2e^(-7%*1)=1.865(美元)

               则由公式，黄金期货价格为

                 F=(S+U)e^(r*T)=484.63(美元)

               或者直接地

                F=Se^(r*T)+2=482.63+2=484.63(美元)

        >>>黄金市场期货价格偏高时的套利的例子

        2、一年期黄金期货合约的价格为每盎司500美元，当前即期价格为每盎司450美元，无风险利率为7%。每盎司黄金每年的存储成本为2美元，期末付款。

            初步计算黄金期货合约的合理价格是F=Se^(7%*1)+2=484.629美元，现价为500美元是明显高估了的。我们应该想办法以现在高估了的黄金期货合约价格卖出黄金期货合约。套利者可以建立以下策略：

                                  A、卖出一份一年期的黄金期货合约；

                                  B、以无风险利率借入450美元，购买一盎司黄金。

            一年后，期货合约到期，交割后套利者获得500美元的收入，同时需要支付之前借入的450美元的一年期债务的本利和，另外还得支付黄金的存储成本2美元。盈利为：

                              500-450e^(7%*1)-2=15.37(美元)

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消费品商品期货定价

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  对于那些持有目的不是为了投资的商品（如油、铜等）来说，那么上面的公式就需要仔细重新考虑了。假设式子的等式不成立，有：

                    F>(S+U)e^(r*T)         （1）

  即期货合约被高估了，那么套利者可采用如下策略：

           A、以无风险利率借入现金S+U，用来购买一单位期货合约标的物商品和支付存储成本；

           B、卖出一份一单位商品的期货合约。

  若认为期货合约与远期合约相同，这必将在时刻T时获利F-(S+U)e^(r*T)的收益。对任何商品采用这套策略都没有问题。但是，当许多套利者都这样操作时，S将上涨，而F将会下跌，直到不等式不再成立。因此，式子(1)不能维持长时间。

  再假设：

                   F<(S+U)e^(r*T)            （2）

  对于持有目的主要不是投资的商品来说，保留商品的库存是因为其有消费价值，而非投资价值。根据式子（2），期货合约被低估，按照理性的套利者来说，他们应该积极卖出手头上持有的商品获得现金来买入这份被低估了的期货合约。但是持有者不会积极主动地出售商品来购买期货合约来套利，因为期货合约不能代替商品而获得消费功能。因此式子（2）得以存在下去。

  总的来说，由于（1）不能长久地成立，而（2）可以存在下去，那么对于消费目的的商品来说，消费品商品期货的定价为：

                   F<=(S+U)e^(r*T)

  若存储成本为现货价格的一个比例u，则为：

                   F<=Se^[(r+u)*T]

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考虑便利收益后的商品期货价格（投资性、消费性皆适用）

  商品使用者也许会感到持有实实在在的商品比持有期货合约有好处。这些好处包括：从暂时的荡涤商品短缺中获利或者具有维持生产线运行的能力。这些好处有时称为商品的便利收益(convenience yield)。

  便利收益反映市场对未来商品获得性的预期。商品短缺的可能性越大，则便利收益就越高。较低的库存会导致较高的便利收益。若商品使用者拥有大量库存，则出现商品短缺的可能性就很小，便利收益会比较低。

  如果存储成本已知，其现值为U，便利收益y可定义为：

                       Fe^(y*T)=(S+U)e^(r*T)

  若每单位的存储成本为现货价格的固定比例u，则y定义为：

                      Fe^(y*T)=Se^[(r+u)*T]

  即

                      F=Se^[(r+u-y)*T]

  对于投资品而言，便利收益为0，否则必然会出现套利机会。随着合约有效期的缩短，某些商品的期货（如大豆、肉、原油）期货价格减小。这种模式说明：对于某些商品而言，便利收益y小于r+u。对于式子，可以这样理解：因为持有商品有便利收益，预期可能会给持有者带来收益，那么拥有商品而卖出期货合约的投资者就有理由降低他出售的期货合约的价格，所以式子中是r+u-y。